Determinanten

Definition:
Ist eine Zahl || Skalar, die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebene linearen Abbildung verändert. Es kann als Hilfmittel zur bestimmung von Lösung definitonen dienen.

Eigenschaften:

Ist eine Determinante = 0, so sind die Vektoren der Matrix linear abhängig
Ist einen Determinante $\neq$ , so sind die Vektoren linear Unäbhägig.

Rechenregeln:

\begin{aligned} det (A \cdot B) & = det (A) \cdot det (B) \\ det (A^{T}) & = det (A) \\ det (A^{- 1}) & = \frac{1}{det (A)} \\ det (m \cdot A) & = m^{n} \cdot det (A) mit m \in R \end{aligned}

Anwendung:

Regel von Sarrus

Beschreibung:
Wird nur verwendet bei Matrizen 3x3 verwendet.

\begin{aligned} det (\begin{array}{c} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}) = a e i + b f g + c d h - c e g - b d i - a f h \end{aligned}

Beispiel:

Laplace Entwicklungssatz

Definiton
Hier wird nach einer bestimmten Zeile oder Spalte entwickelt.

\begin{aligned} Entweder det (A) & = \sum_{j = 1}^{n} [a_{i j} \cdot (- 1)^{i + j} \cdot D_{i j}] Entwicklung nach i -ter Zeile \\ oder det (A) & = \sum_{i = 1}^{n} [a_{i j} \cdot (- 1)^{i + j} \cdot D_{i j}] Entwicklung nach j -ter Spalte \end{aligned}

Beispiel: