Defnition

Gradient und Hessematrix

Der Gradient ist die erste Ableitung und die Hessematrix die 2. Abeleitung.

Differenzierung von Partiellen Funktionen

Totales Differential

Gibt die gesammte änderung der Funktion an, wenn ich die Variable in die Funktion hereingebe und was sich ändert.

• Bei zwei Variablen:

• Formel bei n Variblen:

• Beispiel:
  • Gegeben:
  • Totales Differential:
    

Richtungsableitung

gegeben:

gradienten:

Fromel:

Tangentialebene

Definition:: Ist eine Ebene die, die Funktion in den Punkten f(x0, y0) berührt.

Tangentialebene aufstellen:

Schritte:

1. Du brauchst eine Funktion
2. Du brauchst nun von dieser Funktion alle Ableitungen sprich den Gradienten Partielle Ableitung#Gradient und Hessematrix
3. Du brauchst einen Punkt X0 und Y0
4. Formel anwenden: $Z=(x_{0,}{y}_0)+fx(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+fy(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)$

Beispielsrechnung

Gegeben:
Gradienten:
Formel anwenden, zahlen in funktion einsetzten und in ableitungen:
Lösung:
Jetzt noch Ebenen Gleichung in Normalform bringen Vektoren#Normalform::

1. Klammern auflösen:
2. Konstante Zahlen nun noch zusammenfassen (Normalform):
   Fun fact:
   Der Normalenvektor der senkrecht auf der Ebenen steht, besteht aus den Folgenden kompoenenten
   

Partielle Elastizität

Höhenlinien

Die Funktion einfach constant setzten und nach Y aufloesen:

Implizites Differenzieren

Homogentiätsgrad bestimmen

Extrema / Stationäre / Kritische Punkte

Definitheit bestimmen (Sylvesterkriterium)

Definitheit Hessematrix (Tricks)

Extrema unter Nebenbedinnungen

Beispiele

1 = Gradient
2 = Totales Differential
3 = Tangentialebene
4 = Richtungsableitung
5 = Partielle Elasitzität

Aufgaben Mathe Peter

Gradient / Hessematrix

Aufgabe 1

Gegeben:

Lösung:

Aufgabe 2

Gegeben:

Lösung:

Aufgabe 3

Gegeben:

Lösu
ng:

Totales Differential, Tangentialebene, Richtungsableitung, Elastizität

Aufgabe 1

Gegeben:

Lösung:

Aufgabe 2

Aufgabe 3