In der Differentialrechnung sind Ableitungsregeln von zentraler Bedeutung, um die Ableitung einer Funktion zu bestimmen. Hier sind einige grundlegende Ableitungsregeln und Beispiele:

Grundlegende Ableitungen:

• Größen:
  • $f(x)$: Funktion
  • $f^{\prime }(x)$: Ableitung der Funktion
  • $c$: Konstante
  • $a,b$: Konstanten
  • $p$: Exponent
  • $\ln$: Natürlicher Logarithmus
  • $\sin$: Sinusfunktion
  • $\cos$: Kosinusfunktion

Weitere Beispiele:

Anwendung der Ableitungsregeln:

• Konstante Regel: Die Ableitung einer Konstante ist Null.
• Potenzregel: Die Ableitung von $x^p$ ist $p\cdot x^{p-1}$.
• Exponentialregel: Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$.
• Logarithmusregel: Die Ableitung von $\ln (x)$ ist $1/x$.
• Trigonometrische Regeln: Die Ableitung von $\sin (x)$ ist $\cos (x)$ und die Ableitung von $\cos (x)$ ist $-\sin (x)$.
• Kettenregel: Wenn $y=f(u)$ und $u=g(x)$, dann ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gegeben durch $f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$.
• Produktregel: Wenn $f(x)=u(x)\cdot v(x)$, dann ist die Ableitung $f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v^{\prime }(x)$.
• Quotientenregel: Wenn $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, dann ist die Ableitung $f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\prime }(x)}{(v(x){)}^2}$.

Diese Regeln sind essentiell für die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen und werden in vielen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften angewendet.

$$f(x)=g(x)\pm h(x)\to f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\pm h^{\prime }(x)$$

$$f(x)=g(x)\cdot h(x)\to f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h^{\prime }(x)$$

$$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\to f^{\prime }(x)=\frac{h(x)\cdot g^{\prime }(x)-g(x)\cdot h^{\prime }(x)}{{[h(x)]}^2}$$

$$f(x)=g(h(x))\to f^{\prime }(x)=g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$$