Taylorpolynom

Taylorentwicklung eindimensional

Summary

Taylorreihe

$T_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{k} x_{0} k! \cdot (x - x_{0})^{k}}{=} \frac{f (x_{0})}{0!} \cdot (x - x_{0}) + \frac{f x (x_{0})}{1!} \cdot (x - x_{0})^{1} + \frac{f x x (x_{0})}{2!} \cdot (x - x_{0})^{2}$

Taylorentwicklung 2. Ordnung

Ablauf

Partielle Ableitungen bis zur k-ten Ordnung bestimmen
Entwicklungspunkt einsetzten in die Funktion und Ableitungen

Formel

$T_{2 (x, y)} = f (x_{0}, y_{0)} + \nabla^{} T f (x_{0}, y_{0}) [\begin{matrix} x & - x_{0} \\ y & - y_{0} \end{matrix}] + \frac{1}{2} \cdot [\begin{matrix} x & - x_{0} \\ y & - y_{0} \end{matrix}] \cdot \nabla^{2} f (x_{0}, y_{0}) \cdot [\begin{matrix} x & - x_{0} \\ y & - y_{0} \end{matrix}]$